Thesis (M.Sc.)-Cairo University, 2023.

Bibliography: pages 141-144.

An important problem in statistics is obtaining information about the population from which the sample is drawn. Goodness of fit tests are employed to determine how well the observed sample data “fits” some proposed model. The well-known standard goodness of fit tests are the Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramér–von Mises, Anderson-Darling, and Watson tests which are used for continuous distributions. When the parameters are unknown, the standard tables for these tests are not valid. The complete sample procedures of goodness-of-fit tests are inappropriate for use with censored samples. The critical values obtained from published tables of the complete sample test statistic are necessarily conservative.
The Weibull-Pareto distribution is one of the most commonly used lifetime distributions in modeling lifetime data. Two main motivations are considered in the present thesis. Firstly, the unknown parameters of the Weibull-Pareto distribution are estimated using different estimation methods, including maximum likelihood, least-squares, weighted least-squares, maximum product of spacing, Cramér–von Mises, and Anderson–Darling methods. To evaluate the behavior of different estimates, a Monte Carlo simulation study was established.
Secondly, the modified goodness of fit tests for the Weibull-Pareto distribution with unknown parameters in the case of complete and type II censored samples are discussed. A Monte Carlo simulation was used to generate tables of the critical values for the modified tests for various sample sizes and percentages of censored samples. Additionally, a power comparison between the modified test statistics for a number of alternative distributions is presented. The simulation study showed that in the case of complete samples, the modified Watson test statistic is most powerful compared to the other tests. In the case of censored samples, it is noted, in general, the Anderson-Darling is the most powerful compared to the other tests. It can observed that the Pareto distribution has the highest relative efficiency for all alternatives for large censoring level and in complete sample.

تستخدم إختبارات جودة التوفيق(Goodness of fit tests) لقياس مدى توافق مشاهدات العينة العشوائية مع دالة التوزيع الإحتمالى عندما يكون شكل التوزيع للمجتمع غير معروف وتعمل هذه الإختبارات على تحديد مدى ملاءمة البيانات المسحوبة من العينة للنموذج المقترح. وتعتبر إختبارات جودة التوفيق المعتمدة على دالة التوزيع التجريبية من أهم الإختبارات وأكثرها شيوعاً. وتكون إختبارات جودة التوفيق ملائمة للإستخدام عندما يتوافر فيها شرطين أساسيين:
1. أن يكون الفرض العدمي للتوزيع الإحتمالي كامل التحديد أي أنه لا تحتوي على معالم مجهولة
2. أن تكون العينات المستخدمة عينات كاملة (complete sample) وليست عينات مراقبة (sample censored). أما إذا إختل أحد الشرطيين السابقين أو كلاهما، فإن هذه الإختبارات تكون غير مقبولة ومتحفظ عليها. فانه لايمكن تطبيق إختبارات جودة التوفيق المعروفة أو إستخدام جداول القيم الحرجة الخاصة بها، وإيجاد جداول قيم حرجة آخرى خاضعة للظروف الجديدة. حينئذ يجب إنشاء جداول جديدة للقيم الحرجة لهذه الاختبارات بعد تعديلها. مايلى هوأهم الإختبارات لجودة التوفيق :
Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramér von Mises, Anderson and Darling, Watson وتعتمد هذه الإختبارات بصفة رئيسية على مقارنة الدالة التجميعية للتوزيع الإحتمالي المفترض بالدالة التجريبية من عينة البيانات، والتي يعتمد عليها كثير من الباحثين لإتخاذ قرار قبول الفرض العدمي أو رفضه.
يعد توزيع وايبـل بـاريتو (Weibull-Pareto) أحد التوزيعات المستمرة الهامة والمستخدمة في مجال الموثوقية وإختبارات الحياة. وتهدف هذه الدراسة إلى تحقيق إسهاميين رئيسين.
فى الإسهام الاول تم التطرق إلي تقدير المعالم المجهولة لتوزيع Weibull-Pareto بإستخدام العينات الكاملة بخمس طرق مختلفة، وهم الإمكان الاعظم (maximum likelihood)- المربعات الصغرى (least squares)- المربعات الصغرى المرجحة(Anderson-Darling- (weighted least squares Cramér-von-Mises - -maximum product spacing بالإضافة إلي عمل مقارنة بين التقديرات لتقييم افضلها ، وذلك بإستخدام تقنية مونت كارلو (Monte Carlo) للمحاكاة.
فى الإسهام الثانى تم إنشاء جداول للقيم الحرجة لبعض إختبارات جودة التوفيق المعدلة وهي: Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer Von Mises, Anderson-Darling and Watson لتوزيعWeibull-Pareto بإستخدام تقنية Monte Carlo للمحاكاة، وذلك لكل من العينات الكاملة وعينات المراقبة من النوع الثاني فى وجود معالم التوزيع المجهولة. بالإضافة إلي دراسة قوة الاختبارات وذلك للمقارنة بين الاختبارات المختلفة وحساب كفاءة هذه الإختبارات. وقد أوضحت هذه الدراسة بأن توزيع باريتوPareto هو أفضل توزيع بديل في معظم الحالات، وذلك لكل من العينات الكاملة وعينات المراقبة من النوع الثاني.

وتشتمل هذه الرسالة على خمسة أبواب وهى كالتالي:
البـاب الاول : يحتوى على مقدمة بسيطة عن موضوع الدراسة، الهدف منها، و استعراض ما سيتم القيام به في ثناياه.
البـاب الثـاني :يحتوى على عرض لبعض المفاهيم الاساسية المستخدمة فى هذه الدراسة و يشتمل علي بعض التعريفات المرتبطة بإختبارات جودة التوفيق، وبعض الطرق المستخدمة في تقدير المعالم المجهولة للتوزيعات الاحتمالية.
البـاب الثـالث: فقد تم تخصيصه لعرض بعض الخصائص الإحصائية لتوزيع ويـبـل- بــاريتو Weibul-Pareto محل الدراسة، كما تم تقدير المعالم المجهولة الخاصة بهذا التوزيع باستخدام العينات الكاملة بخمس طرق مختلفة، كما تم أيضاً تقديم دراسة محاكاة لفحص سلوك المعالم المقدرة بالطرق المختلفة باستخدام تقنية Monte Carlo للمحاكاة.
البـاب الرابع: يشتمل على إختبارات جودة التوفيق المعتمدة على دالة التوزيع التجريبية المسحوبة من عينة البيانات و تقدير المعالم المجهولة لتوزيع Weibul-Pareto باستخدام طريقة الإمكان الأعظم وذلك بالاعتماد على نظام العينات الكاملة وعينات المراقبة من النوع الثاني Type II censored بغرض إنشاء جداول للقيم الحرجة لهذه الاختبارات باستخدام تقنية Monte Carlo للمحاكاة ، ودراسة قوة الاختبارات (Power tests) وفقاً لمستوى الرقابة (Censoring level) وذلك للمقارنة بين قوة هذه الإختبارات بقوة الإختبارات المعتمدة على دالة التوزيع التجريبية وحساب كفاءة هذه الاختبارات، بالإضافة إلي المفاضلة بين الفرضيات البديلة (alternative hypotheses).
الباب الخامس: يشتمل علي أهم النتائج التي تم التوصل إليها وكذلك مقترحات لدراسات المستقبلية.

Issues also as CD.

Text in English and abstract in Arabic & English.