Thesis (M.Sc.)-Cairo University, 2023.

Bibliography: pages 92-103.

The statistical distribution of income data determines how the income is distributed
between the individuals in the society. There are many distributions that fit the income
data such as Burr, Pareto, Dagum, Singh Maddala, Weibull, Lomax, Logistic, Log
Logistic, Beta Lomax, generalized Gamma and Lognormal distributions.
Burr (1942) has suggested the Burr family that has twelve types of cumulative
distributions. It is used in many fields such as finance, flood levels, time travel, crop
prices, insurance risk and failure data. It is related to many distributions such as Pareto,
Dagum, Singh Maddala, Weibull and Kappa distributions. The researchers sought to
develop these statistical distributions to explain the phenomena in a better and more
accurate way and to explain the behavior of the phenomena that appear recently. There
are many methods to introduce a new distribution, one of them, the hazard power
parameter family that adds a shape parameter depending on the hazard function.
In our thesis, a new Burr distribution is presented based on the hazard power
parameter family. It has two positive shape parameters namely 𝜃 and 𝛼, and a scale
positive parameter namely 𝛽. It is implied from the probability density function, which
can be unimodal and the hazard rate function can be either decreasing, increasing or
upside-down shaped. To illustrate the flexibility of the new distribution, an application
on three sets of real data (prices, time failure and taxes revenues) is performed using
the maximum likelihood method for estimating the parameters of distribution. The
estimation of the parameters of the new distribution using Bayesian and maximum
likelihood methods is performed based on complete and progressive Type II censoring
samples

تلعب التوزيعات الاحصائية دورا هاما في تحليل مختلف أنواع البيانات في جميع المجالات مثل الطب في تشخيص المرض وتأثيره علي الفرد، ومجال الهندسة واختبارات الحياة والموثوقية في تحديد عمر المنتج والتنبؤ بأوقات فشل المنتج، وبيانات الدخل والثروة.
هناك توزيعات عديدة تستخدم في بيانات الدخل ومنها توزيع البير Burrوتوزيع الباريتوPareto وتوزيع الداغومDagum وتوزيع اللوماكسLomax وتوزيع البيتا لوماكسBeta Lomax وتوزيع سينغ مادالا Singh-Maddala والتوزيع اللوجيستيLogistic وتوزيع اللوغاريتم الطبيعيLog-normal وتوزيع الوايبلWeibull . وتوزيع الدخل مقياس لمعرفة كيف يتم توزيع الدخل بين الافراد والاسر في المجتمع وتحديد معدل الفقر في كل دولة. وتهدف ايضا توزيعات الدخل الي تحليل كيفية توزيع الدخل عبر المناطق الجغرافية والجنس والاجيال . وجدت بيانات الدخل والثروة اهتماما كبيرا من العلماء رغبة في قياس مدي عدالة توزيع الدخل والثروة علي الافراد في المجتمع. فسعي العلماء الي ايجادعائلة من التوزيعات الاحصائية تلائم بيانات الدخل وتحليلها و ملائمة للتغيرات التي تحدث للبيانات ودراسة مدي عدالة توزيع الثروة بين الافراد اعتمادا علي هذا التوزيع الاحصائي.
وقد تم الاعتماد علي توزيع البيرBurr في الدراسة الحالية، وله علاقة بالعديد من التوزيعات مثل توزيع الباريتوPareto، توزيع الوايبلWeibull ، توزيع الكاباKappa ، توزيع سينغ مادالا Singh-Maddala، التوزيع اللوجيستيLogistic وتوزيع اللوغاريتم الطبيعي Log-normal كحالات خاصة من توزيع البيرBurr. ففي سنة 1942 قدم بير الثاني عشر دالة تراكمية لتوزيع البير. ومن اشهر هذه الدوال التراكمية التي حصلت علي إهتماما كبيرا من العلماء هو توزيع البير من النوع الثاني عشرBurr XII.
فقد تم استخدام توزيع بيرBurr من قبل Papadopoulos (1978) ، Tadikamalla (1980)، Lewis (1981) ، Evans and Ragab (1983) و wingo (1983) ووضحوا ان توزيع البير Burr مشهور في تحليل بيانات الحياة والموثوقية وتحليل بيانات الدخل والثروة. وله تطبيقات عديدة اخري في انواع بيانات مختلفة.
استخدم Taylor and Susilawati (2012) توزيع البيرBurr كنموذج لتحديد مدي تأثير حالة الجو علي أوقات السفر في الرحلات في المناطق الحضرية. وله تطبيقات عديدة في التمويل، علم الموائع ، اسعار المنتجات والمحاصيل، مستويات الفيضانات و التأمين علي المخاطر.
كانت هناك العديد من الطرق لتطوير توزيعات إحصائية لتتناسب مع طبيعة البيانات المتغيرة وذلك عن طريق اضافة معلمة جديدة للتوزيع ومن أهم هذه الطرق الستة طرق المقدمة من قبل Gupta and Kundu (2009) ويدعوا نموذج الخطر النسبي، نموذج الخطر العكسي النسبي، النموذج التراكمي النسبي، نموذج الاحتمال النسبي، نموذج القوي المتحول و نموذج اذاليني الملتوي skewed Azzalini. قدم Kunda and Mahdavi (2017) نموذج قوي الفا. قدم Marshall and Olkin (2007) طريقة معلمة قوي الخطر لاضافة معلمة قياس لتوزيع البير من النوع الثاني عشروهذه المعلمة تعتمد علي دالة الخطر. هذه الطريقة تعتمد علي دالة البقاء علي قيد الحياة ودالة الفشل. قام العديد من الباحثين بتطوير توزيع البير بالاعتماد علي طرق اضافة معلمة.
قدم Klugman et al. (1998) توزيع معكوس البيرInverse Burr. قدم Jayakumar and Mathew (2008) توزيع مرشال اولكينMarshall-Olkin وتوزيع شبه بير مرشال اولكينSemi Marshal-Olkin . قدم Cordeio et al. (2011) توزيع بيتا بير. قدم Jamal et al. (2020) توزيع بير غامبل الصغيرMinimum Burr Gumbel . قدم Santos and Pescim (2023) توزيعLog-Logistic Burr .
قد تم استخدام طريقة معلمة قوي الخطر المقدمة من Marshall and Olkin (2007) من قبل العديد من الباحثين علي سبيل المثال قدم Muhammed (2022a) هذه الطريقة لكن في حالة المتغيرات الثنائية وايضا قدم Muhammed (2022b) توزيع جومبرتزGompertz المولد ذات معلمة قوي الخطرفي حالة المتغيرات الاحادية والثنائية.
في هذه الرسالة تم تقديم توزيع جديد يعتمد علي توزيع البير من النوع الثاني عشرBurr XII وعلي طريقة معلمة قوي الخطر التي قدمها Marshall and Olkin (2007). التوزيع الجديد يدعي توزيع بيرذات معلمة قوي الخطر والذي له معلمتين معالم شكل و معلمة قياس. وقد تم مناقشة الخصائص الرياضية للتوزيع الاحصائي متضمنا دالة التوزيع الاحتمالي، الدالة التراكمية للتوزيع، دالة البقاء علي قيد الحياة، دالة الخطر، دالة الخطر العكسية ، دالة الخطر التراكمية، دالة الخطر العكسية التراكمية، دالة الكمية التي تستخدم في توليد عينات من التوزيع الجديد حيث كان لها شكل صريح وتم الحصول منها علي الوسيط والربيعات وايضا تم الحصول علي الاحصاءات المرتبة .اما بالنسبة للمنوال فلا يمكن الحصول عليه رياضيا لكن يمكن الحصول عليهم رقميا باستخدام برنامج احصائي. ولم نستطيع الحصول علي العزوم حول الصفر لصعوبة التكامل. ايضا تم رسم دالة التوزيع الاحتمالي، الدالة التراكمية للتوزيع، دالة البقاء علي قيد الحياة، دالة الخطر، دالة الخطر العكسية بقيم معالم مختلفة لتفسير سلوك التوزيع. فقد كانت دالة التوزيع لاحتمالي ذات قمة واحدة وكانت دالة الخطر لها اربعة حالات احيانا تكون متزايدة واحيانا تكون متناقصة واحيانا تكون متقلبة.
تكمن اهمية التوزيع في التطبيقات علي بيانات حقيقية من الواقع. فقد تم استخدام طريقة الامكان الاعظم في تقدير المعالم وتم استخدام ثلاثة مجموعات من البيانات.
المجموعة الاولي بيانات تعبر عن اسعار 31 لعبة خشبية للاطفال في محل لسنة 1991 وقد تم مقارنة توزيع بيرذات معلمة قوي الخطر HPPB بتوزيع بير من النوع الثاني عشرBurr XII وتوزيع بير المولدgeneralized Burr وتوزيع وايبلWeibull وتوزيع سينغ مادالا Singh-Maddala لتوضيح مدي مرونة التوزيع الجديد، تم استخدام اختبار كولومجروف سيمرنوف الذي وضح ان الخمسة توزيعات مناسبة للبيانات وقد تم استخدام معايير AIC, CAIC, BIC لمعرفة ايا من التوزيعات مناسب اكثر للبيانات لكن كانت القيم متقاربة من بعضها البعض مما يدل ان كلا من الخمس توزيعات مناسب للبيانات اسعار العاب خشبية. وهذا يؤكد ان توزيع بيرذات معلمة قوي الخطر HPPB مناسب لبيانات اسعار.
المجموعة الثانية بيانات تعبر عن اوقات الفشل ل 50 مكون وقد تم مقارنة توزيع بيرذات معلمة قوي الخطر HPPB بتوزيع الوايبلWeibull وتوزيع بير المولد generalized Burr وتوزيع سينغ مادالا Singh-Maddala لتوضيح مدي مرونة التوزيع الجديد، تم استخدام اختبار كولومجروف سيمرنوف الذي وضح ان الاربعة توزيعات مناسبة للبيانات وقد تم استخدام معايير AIC, CAIC, BIC لمعرفة ايا من التوزيعات مناسب اكثر للبيانات لكن كانت القيم متقاربة من بعضها البعض مما يدل ان كلا من الاربعة توزيعات مناسب للبيانات اوقات الفشل. وهذا يؤكد ان توزيع بيرذات معلمة قوي الخطر HPPB مناسب لبيانات البقاء علي قيد الحياة والموثوقية خاصا ان النموذج المعتمد عليه في اضافة معلمة يعتمد علي دالة الفشل.
المجموعة الثالثة بيانات تعبر عن عائدات الضرائب ل 100 مشاهدة وقد تم مقارنة توزيع بيرذات معلمة قوي الخطر HPPB بتوزيع الوايبلWeibull وتوزيع بير المولد generalized Burr وتوزيع سينغ مادالا Singh-Maddala لتوضيح مدي مرونة التوزيع الجديد، تم استخدام اختبار كولومجروف سيمرنوف الذي وضح ان الخمسة توزيعات مناسبة للبيانات وقد تم استخدام معايير AIC, CAIC, BIC لمعرفة ايا من التوزيعات مناسب اكثر للبيانات لكن كانت القيم متقاربة من بعضها البعض مما يدل ان كلا من الاربعة توزيعات مناسبة للبيانات عائدات الضرائب. وهذا يؤكد ان عائلة توزيع البير مناسبة لبيانات ايرادات الضرائب.
تم الاعتماد علي طريقة الامكان الاعظم وطريقة البيزين في تقدير المعالم وتم الاعتماد علي علي بيانات كاملة وبيانات مراقبة معجلة من النوع الثاني وهذه البيانات تم توليدها باستخدام حزمة R.
باستخدام طريقة الامكان الاعظم للتقديرو كان من الصعب الحصول علي مقدرات للثلاثة معالم في صورة صريحة ولكن يمكن الحصول عليهم رقميا وتم الحصول علي مصفوفة فيشر للمعلومات لاستخدامها في الحصول علي فترات ثقة لمعالم التوزيع. باستخدام البيانات المولدة علي حزمة R تم الحصول علي قيم التقديرات ومتوسط مربعات الاخطاء وقيمة التحيزلكل معلمة وفترة ثقة لكل معلمة.
باستخدام طريقة البيزين للتقدير وتم استخدام سلسلة ماركوف مانت كارلوMCMC للحصول علي مقدرات المعالم وتم الاعتماد ايضا علي خوارزمية متروبولس هيستنجMetropolis-Hastings لتوليد عينات من التوزيع الجديد. . باستخدام البيانات المولدة علي حزمة R تم الحصول علي قيم التقديرات ومتوسط مربعات الاخطاء وقيمة التحيزلكل معلمة وفترة ثقة لكل معلمة.
وتتكون الرسالة من ستة ابوب كالاتي
الباب الاول: بعنوان المقدمة وتحفيز الدراسة و يعرض المقدمة واهدف الرسالة وتقسيمات الابواب.
الباب الثاني: بعنوان التعريفات و يعرض اهم التعريفات المستخدمة في الرسالة مثل بعض الدوال الخاصة بالبقاء والموثوقية وبعض توزيعات الدخل والثروة وسمات المقدر الجيد وطرق التقدير وانواع بيانات المراقبة.
الباب الثالث: بعنوان طرق اضافة معلمة ( الدراسات السابقة ) و يعرض بعض الدراسات السابقة عن طرق اضافة معلمة وعن توزيع البيرBurr من حيث استخدامته بالاضافة الي التوزيعات المطورة منه.
الباب الرابع: بعنوان الخصائص الرياضية لتوزيع بيرذات معلمة قوي الخطر و يعرض اهم الخصائص الرياضية للتوزيع الجديد توزيع بيرذات معلمة قوي الخطرHPPB مثل دالة كثافة الاحتمال ودوال الموثوقية والبقاء والرسوم البيانية الخاصة بهم للتوزيع الجديد بالاضافة الي الاحصاءات المرتبة والوسيط والربيعات.
الباب الخامس: بعنوان تقدير معالم توزيع بيرذات معلمة قوي الخطرHPPB بالاعتماد علي بيانات كاملة وتم فيه استخدام طريقة الامكان الاعظم وطريقة البيزين لتقدير معالم التوزيع الجديد بالاعتماد علي بيانات كاملة مولدة باستخدام حزمة R وبيانات كاملة حقيقية وهي بيانات تعبر عن اسعاب العاب خشبية واوقات فشل وعوائد الضرائب.
الباب السادس: بعنوان تقدير معالم توزيع بيرذات معلمة قوي الخطرHPPB بالاعتماد علي بيانات مراقبة معجلة وتم فيه استخدام طريقة الامكان الاعظم وطريقة البيزين لتقدير معالم التوزيع الجديد بالاعتماد علي بيانات مراقبة معجلة من النوع الثاني مولدة

Issued also as CD

Text in English and abstract in Arabic & English.