Nermeen Ahmed Mahmoud Elkot,  <br/><br/>
Convergence Analysis of Spectral Collocation Methods for Nonlinear Integral Equations /   Remainder of title /  
 دراسة تقارب طريقة الطيف التجميعية لحل بعض المعادلات التكاملية غير الخطية /  
by Nermeen Ahmed Mahmoud Elkot ; Supervisors by Prof. Dr. Eid H. Doha, Dr. Malak M. Rizk, Dr. Mahmoud A. Zaky, Dr. Ibrahem G. Ameen. 
 - 113 pages :  illustrations ;  25 cm. +   CD. 
<br/><br/>Thesis (Ph.D)-Cairo University, 2024. 
<br/><br/>Bibliography: pages 91-113.  
<br/><br/> We construct and analyze efficient spectral collocation schemes for systems of nonlinear integral<br/>equations with weakly singular kernels. Moreover, we extend our collocation schemes for the integrated<br/>forms of fractional-order differential equations with delay and non-smooth solutions. We focus on<br/>the computational and theoretical aspects of the proposed schemes. Our ideas and techniques not<br/>only enrich the applications of spectral collocation methods but also build a new and powerful<br/>framework for their convergence analysis. In Chapter 1, we provide a brief introduction to integral<br/>equations, fractional calculus, spectral methods, and orthogonal polynomials. While the approximate<br/>solutions of one-dimensional nonlinear Volterra-Fredholm integral equations with smooth kernels<br/>are now well understood, there are no systematic studies of the numerical solutions of their multi-<br/>dimensional counterparts. In Chapter 2, we provide an efficient numerical method for the multi-<br/>dimensional nonlinear Volterra-Fredholm integral equations based on the multi-variate Legendre-<br/>collocation approach. We provide rigorous error estimates in the weighted Sobolev space showing the<br/>exponential decay of the numerical errors. The existence and uniqueness of the numerical solution are<br/>established. Numerical experiments are provided to support the theoretical convergence analysis. In<br/>Chapter 3, we extend our results for solving a general class of nonlinear systems of multi-dimensional<br/>integral equations. The spectral rate of convergence for the proposed method is established in the<br/>𝐿2-norm showing that the error of the approximate solution decays exponentially. In Chapter 4, we<br/>consider a class of nonlinear fractional two-point boundary value problems involving left- and right-<br/>sided fractional derivatives. The main ingredient of the proposed method is to recast the problem into<br/>an equivalent system of integral equations with different weakly singular kernels. Then, a Legendre-<br/>based spectral collocation method is developed for solving the transformed system. We present the<br/>construction and analysis of the collocation method. These results can be indirectly applied to solve<br/>fractional optimal control problems by considering the corresponding Euler–Lagrange equations. In<br/>Chapter 5, we study a spectral collocation approach for the fractional nonlinear pantograph delay<br/>differential equations with nonsmooth solutions. The fractional-order derivative is considered in the<br/>Caputo sense. An auxiliary transformation is adapted to match the singularity in the corresponding<br/>solution and to maximize the convergence rate of the proposed scheme. Therefore, the solution of<br/>the resulting equation possesses better regularity, and then the numerical method can achieve spectral<br/>accuracy for the non-smooth solutions, which serves as an improvement compared with the existing<br/>results in the reference. The spectral convergence rate for the proposed approach is discussed in<br/>the weighted 𝐿2-norm and the 𝐿∞-norm. Numerical results are given to confirm our theoretical<br/>analysis. All computations in this thesis are carried out using Mathematica version 10 on a laptop<br/>with specifications: Intel(R) Core(TM) i7-10510U CPU, 8.00GB RAM and 1.80GHz 2.30GHz, with<br/>64 bits operating system  يعتبر الهدف الأساسي من هذه الرسالة هو دراسة وتحليل طرق تجميع طيفي مبنية على كثيرات حدود لجندر وحالات أخرى من كثيرات حدود جاكوبي لحل أنظمة من المعادلات التكاملية غير الخطية ذات النواة المفردة الضعيفة وتقدير قيمة الخطأ بشكل نظرى في أكثر من بعد. علاوة على ذلك، نقوم بتطوير الميزات الرئيسة لطرق التجميع الطيفي لحل المعادلات التكاملية المناظرة للمعادلات التفاضلية ذات الرتب الكسرية المحتوية على تأخير زمني. ونظراً لخاصية عدم المحلية للمؤثر التفاضلي الكسري؛ فإن حلول مثل هذه المعادلات لا يكون منتظما. لذلك فإن دقة الطرق الطيفية التقليدية تنهار إذا ما تم تطبيقها مباشرة، والذي بدوره يشكل صعوبات كبيرة ومتعددة في الحصول على حل دقيق. لذلك فإن الخوارزميات الطيفية التجميعية المقترحة والمستندة على بعض التحويلات غير المنتظمة تستطيع التغلب على هذه الصعوبات والسيطرة عليها. لا تثري أفكارنا وتقنياتنا تطبيقات أساليب التجميع الطيفي فحسب، بل تبني أيضًا إطارًا جديدًا وقويًا لدراسة وتحليل تقارب الطرق الطيفية المقترحة.<br/>وزعت هذه الرسالة على خمسة فصول.عرضنا في الفصل الأول  مقدمة مختصرة عن الطرق الطيفية ومميزاتها، كما وضحنا أيضا الفروق بين الطرق الطيفية المستخدمة بصورة شائعة وهى طرق جالركن، وطريقة بتروف-جالركن، والطريقة التجميعية، وطريقة تاو.  قمنا كذلك بعمل دراسة مختصرة عن كثيرات الحدود المتعامدة، وخصائصها، كما ذكرنا بعض الخصائص العامة والعلاقات المتعلقة ببعض كثيرات الحدود المتعامدة المستخدمة فى هذه الرسالة. إضافة لما سبق أعطينا بعض الخصائص العامة لكثيرات حدود جاكوبي وأعطينا كذلك بعض التعريفات الاساسية فى حساب التفاضل والتكامل الكسرى. يعالج الفصل الثانى الدراسة العددية القائمة على طريقة الطيف التجميعية باستخدام كثيرات حدود لجندر لحل معادلات فولتيرا-فريدهولم التكاملية غير الخطية في أكثر من بعد، كما درسنا وجود الحل وتفرده. كما تم دراسة تقارب الطريقة المقترحة فى فضاء L^2 . تبين لنا من الدراسة التحليلية للطريقة الطيفية المقترحة أنها أكثر مرونة مع دقة أفضل من تلك الموجودة. في الفصل الثالث تم تطوير الطريقة المقترحة في الفصل السابق لحل أنظمة من المعادلات التكاملية غير الخطية في أكثر من بعد. كما تم تطوير نظرية تقارب الطريقة ووجود وتفرد حل الأنظمة المقترحة من المعادلات التكاملية غير الخطية في أكثر من بعد. تبين لنا من الدراسة التحليلية للطريقة الطيفية المقترحة أنها قادرة على تحقيق الدقة الطيفية المنشودة لهذه الأنظمة من المعادلات التكاملية. في الفصل الرابع قمنا بإعادة صياغة معادلات أويلر – لجرانج ذات الرتب الكسرية لمسائل التحكم الأمثل كنظام غير خطى من المعادلات التكاملية، ومن ثم حل الأخيرة بأستخدام طريقة التجميع الطيفي ودراسة تقارب الطريقة نظرياً وعملياً، حيث تم دراسة تقارب الطريقة المقترحة في فضاء L^2. كما تمت مقارنة نتائج الطريقة الطيفية مع أبحاث علمية سابقة، وتبين لنا دقة الطريقة محل الدراسة. قمنا في الفصل الخامس ببناء وتحليل طريقة التجميع الطيفي باستخدام كثيرات حدود جاكوبي لحل أنظمة مختلفة من المعادلات التكاملية غير الخطية المناظرة للمعادلات التفاضلية ذات الرتب الكسرية والتي تحتوي على تأخير زمني وذلك عندما تكون الحلول غير منتظمة، كما تم دراسة تقارب الطريقة المقترحة في فضاء L^2,L^∞. تمت أيضا مقارنة نتائج الطريقة الطيفية مع أبحاث علمية سابقة، وتبين لنا أيضا أن الطريقة محل الدراسة فى توافق جيد مع التحليل النظري.<br/>ومما يستوجب الذكرأنه تم في هذه الرسالة بناء إطاراً جديداً وقوياً لتحليل التقارب. تم استخلاص أربعة أبحاث من هذه الرسالة وتم نشرهم في مجلات عالمية متخصصة<br/> 
<br/><br/>
<br/><br/><br/>Text in English and abstract in Arabic & English. 
<br/><br/><label>Subjects--Topical Terms: </label><br/>Mathematics
<br/><br/><label>Subjects--Index Terms: </label>Nonlinear integral equations   Fractional calculus  spectral methods  orthogonal polynomials   the multi-dimensional nonlinear Volterra  Fredholm integral equations 
<br/><br/><label>Dewey Class. No.: </label>510