On Sinc Methods and Their Applications in Direct and Inverse Problems/ Presented by Ishraq Abdullah Ali Al-Abdi; Supervisors Prof. Dr. M. H. Annaby, Prof. Dr. A. F. Ghaleb, Prof. Dr. M. S. Abou-Dina.

Thesis (Ph.D)-Cairo University, 2023.

Bibliography: pages 115-128.

The sinc numerical methods, which are based on the classical sampling theorem of Whittaker, Kotelnikov, and Shannon (WKS), provide procedures for function approximation. So, they have been extensively used for many operations like interpolation; approximation of derivatives; approximate solutions of differential and integral equations; approximate solutions of initial and boundary problems; and approximation and inversion of Fourier transforms, to mention a few. The classical sinc method is known to have a slow rate of convergence. Therefore, several techniques have been established to accelerate the convergence rate. Among these techniques, in which this thesis is interested in, are the kernel methods, where a regularization kernel is incorporated in the interpolation procedure. Therefore, we derive several sampling procedures, both in the classical sense and in the linear canonical transform (LCT) domain. Applications are considered with illustrative experiments.
The thesis consists mainly of five chapters, where the new results of the thesis lie in chapters 2-5.
Chapter 1 is an introductory chapter where we present a general introduction to sampling theory and sinc methods, as well as the main results in this area are introduced both in the classical sense and in the LCT domain.
In chapter 2, we introduce a rigorous convergence analysis for Hermite-type interpolations for band-limited functions in the LCT on both and . The estimation of the truncation error is rigorously derived as well, in pointwise and uniform settings. Moreover, the amplitude and jitter errors are also derived and rigorous estimates for them are given. Some examples are provided to demonstrate the precision of the derivations.
Three regularized sampling techniques in the LCT domain for band-limited and non-band-limited functions are established in chapter 3. Throughout this chapter, we incorporate two different regularization kernels in the sampling reconstruction of band-limited functions to remarkably enhance the convergence rate to be of the exponential type instead of the polynomial type convergence rate of the widely used Shannon sampling representations in the LCT domain. The first kernel is a normalized Gaussian kernel, allowing the sampling reconstruction for not necessarily band-limited functions, while the second is a band-limited kernel. The errors are rigorously estimated for all these techniques, and numerical simulations proved the exactness and accuracy of the obtained estimates.
In chapter 4, we present a Shannon-Taylor technique for band-limited signals of the LCT. This technique arises when the sinc function of the classical sampling series associated with the LCT is replaced by an appropriate number of terms of its Taylor series. The truncation, amplitude, and jitter error estimates are rigorously investigated. Some examples of the derived theory are presented.
In chapter 5, we implement the Shannon-Taylor approximations to solve the inverse heat problem. The error caused by cutting the Taylor series is investigated, and the rigorous uniform error estimates are established.

توفر طرق سينك؛ التي تعتمد على نظرية العينات الكلاسيكية لـويتكر وكوتلنيكوف وشانون؛ نظريات مدققة لتقريب الدوال، ولذلك فقد تم استخدامها على نطاق واسع في العديد من عمليات الاستكمال وتطبيقاتها مثل تقريب مشتقات الدوال التحليلية، الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التكاملية، الحلول التقريبية لمسائل القيم الابتدائية والقيم الحدية للمعادلات التفاضلية، تقريب وانعكاس تحويلات فورييه، وغيرها من المسائل.
من المعروف لدينا أن طريقة سينك الكلاسيكية لها معدل تقارب بطيء. لذلك تم تقديم العديد من التقنيات لتسريع معدل التقارب في هذه الرسالة. كما قُمنا بتوفير دراسات دقيقة رياضياً لتحليل التقارب للتقنيات المقترحة، بالإضافة إلى تحليل الأخطاء الناتجة من استخدام هذه التقنيات، و إجراء دراسة مقارنة بين هذه التقنيات والتقنيات الأخرى الموجودة سابقاً، وبحث إمكانية تطبيق طرق سينك في المسائل الحياتية والهندسية.
تتكون هذه الرسالة بالأساس من خمسة أبواب، وتقع النتائج الأصيلة للرسالة في الأبواب من الثاني إلى الخامس. وتفصيل ذلك كالآتي:
الباب الأول هو باب تمهيدي حيث يحوي مقدمة عامة لنظرية العينات وطرق سينك، كما تم تقديم النتائج الرئيسية في هذا المجال بالمعنى الكلاسيكي وفي مجال التحويل القانوني الخطي (LCT).
قُمنا في الباب الثاني بتحليل التقارب لطريقة استكمال هيرميت للدوال محدودة الحزمة في مجال LCT للنطاقين و بشكل دقيق. وقد تم اشتقاق تقدير خطأ الاقتطاع بشكل دقيق في الحالتين النقطية والمنتظمة، كما تم أيضًا اشتقاق خطأي السعة والزوال وتقديم تقديرات دقيقة لهما، وعرض بعض الأمثلة لإثبات كفاءة هذه الطريقة.
في الباب الثالث تم اقتراح ثلاث تعميمات لنظرية العينات الكلاسيكية في مجال LCT للدوال محدودة الحزمة وغير محدودة الحزمة، حيث قمنا بدمج نواتي تنظيم مختلفتين في نظرية العينات لتحسين معدل التقارب بشكل ملحوظ ليكون من النوع الأسي بدلاً من معدل التقارب من النوع كثيرات الحدود لنظرية العينات الكلاسيكية المستخدمة على نطاق واسع في مجال LCT. النواة الأولى هي نواة غاوسية طبيعية، حيث تسمح بإعادة بناء العينات ليس بالضرورة لدوال محدودة الحزمة، بينما النواة الثانية هي نواة محدودة الحزمة. وتم كذلك تقدير الأخطاء بدقة لجميع هذه التقنيات، وأثبتت المحاكاة العددية صحة ودقة التقديرات التي تم الحصول عليها.
قدمنا في الباب الرابع تقنية شانون-تايلور للدوال محدودة الحزمة في مجال LCT. حيث تنشأ هذه التقنية عندما يتم استبدال دالة سينك في متسلسلة العينات الكلاسيكية في مجال LCT بعدد مناسب من حدود متسلسلة تايلور الخاصة بها. وتم تحليل وتقدير أخطاء الاقتطاع والسعة والزوال بدقة، وقُدمت بعض الأمثلة على النظرية المشتقة.
في الباب الخامس تم تطبيق تقنية شانون-تايلور التقريبية لحل مسألة الحرارة العكسية، وتم التحقيق في الخطأ الناجم عن قطع سلسلة تايلور، ووضع تقديرات خطأ دقيقة لها.
هذا وقد زُودت الرسالة بالمراجع الحديثة ذات الصلة، والعديد من الفهارس تيسيراً للقارئ كفهارس الجداول والأشكال. ويبقى المجال منفتحاً أمام العديد من التطبيقات والدراسات النظرية المستقبلية لهذا الموضوع الهام.

Issued also as CD

Text in English and abstract in Arabic & English.