Thesis (Ph.D)-Cairo University, 2023.

Bibliography: pages 337-366.

Uncertainty arises in all fields of modern science. It is a state of limited knowledge where “To know” means “To be uncertain of”. Acquiring reliable knowledge amidst uncertainty is the raison d’être of the present dissertation. In this connexion, a worthwhile progress in fractional calculus is to introduce analytical and computational theories of fractional calculus that wholly address the computation of fractional derivatives and integrals under uncertainty. Motivated by an ever-increasing indeterminacy and complexity in physics and engineering and fueled by developments in computational and uncertainty mathematics, the main objectives of this dissertation are to lay out two generalized analytic theories of uncertain fractional calculus, addressing respectively: (1) verified enclosures of fractional derivatives and integrals of real functions, and (2) verified enclosures of fractional derivatives and integrals of interval functions; and to attempt to machine-realize these theories. Towards this aim, we develop a number of mathematical systems and many nice consequences come for free. The main contributions of this work are therefore three-fold: a “logico-algebraic formalization”, an “extension”, and a problem-independent “machine implementation” of fractional derivatives and integrals under uncertainty.

عَدَمُ التَّيقُّنِ uncertainty يظهرُ جليًّا في كل مَناحِي العلومِ. هو حالةٌ من مَحدوديةِ المَعرفةِ يكونُ فيها "أن تَعرفَ to know" يعني "ألّا تَكونَ مُتيقنًا to be uncertain of". الحُصولُ على مَعرفةٍ مَوثُوقةٍ reliable knowledge في ظلِّ مُشكلةِ عدمِ التيقنِ هو جوهرُ raison d'être هذه الأطروحةِ. في هذا الإطارِ فإنَّ إسهامًا ذا قيمةٍ في حسابِ التفاضلِ والتكاملِ الكسريِّ هو تقديمُ نظرياتٍ تحليليةٍ analytical وحوسبيةٍ computational تعالجُ حساب التفاضلاتِ والتكاملاتِ الكسريةِ fractional derivatives and integrals في ظلِّ مشكلةِ عدم التيقنِ under uncertainty. وعليهِ فإن الهدفَ الرئيسَ لهذه الأطروحةِ هو تقديمُ نظريتين عامَّتين للتفاضل والتكامل الكسريِّ اللايقينيِّ uncertain fractional calculus. هاتان النظريتان الجديدتان تقدمان على الترتيبِ: (1) إدراجاتٍ موثوقةٍ verified enclosures للتفاضلات والتكاملات الكسرية للدوال الحقيقية real functions، (2) إدراجاتٍ موثوقة للتفاضلاتِ والتكاملات الكسرية للدوال الفترية interval functions. أيضًا تهدفُ الأطروحةُ لتقديم التنفيذ الحوسبيِّ machine implementation لهاتين النظريتين. سعيًا نحو هذه الأهدافِ جميعِها فإنّ الأطروحةَ تؤسسُ لعددٍ من البِنَى الرياضياتيةِ mathematical structures وتنشيءُ عددًا من النتائج ذاتِ القيمةِ nice consequences. على ذلك يكونُ هذا البحثُ ثلاثيَّ الجوانبِ three-fold: في جانبٍ هو صورنةٌ جبرُ-منطقيةٍ logico-algebraic formalization لحسابِ التفاضلِ والتكامل الكسريِّ حقيقيِّ الرتبة، وفي ثانٍ هو تعميمٌ extension لهذا الحساب، وفي جانبٍ ثالثٍ هو تنفيذٌ حوسبيٌّ عامٌ له غيرُ مرتبطٍ بمشكلةٍ بعينها a problem-independent machine implementation.

Issues also as CD.

Text in English and abstract in English.