Parameter estimation based on unified hybrid censoring scheme /
Asmaa Abdel-Hakim Ibrahim Mohamed,
Parameter estimation based on unified hybrid censoring scheme / تقدير المعالم بالاعتماد على نظام المراقبة المهجنة الموحدة by Asmaa Abdel-Hakim Ibrahim Mohamed ; Supervised Prof. Dr. EL-Sayed A. El-Sherpieny. - 127 Leaves : illustrations ; 30 cm. + CD.
Thesis (Ph.D)-Cairo University, 2025.
Bibliography: pages 123-127.
This thesis addresses the problem of statistical inference for lifetime distributions
under unified hybrid censoring schemes, with a particular focus on the two-parameter
generalized inverted exponential distribution and the alpha-power exponential distribu-
tion. Unified hybrid censoring is an important framework in reliability analysis be-
cause it combines the advantages of generalized Type-I and Type-II hybrid censoring
plans, ensuring that a life test concludes within a pre-specified maximum time while
also guaranteeing the observation of at least a fixed number of failures. This balance
between time and failure constraints reflects practical considerations in reliability and
survival studies, where both economic costs and resource limitations must be managed
efficiently.
Within this censoring framework, two complementary inferential paradigms are de-
veloped. In the classical domain, maximum likelihood estimation is employed to derive
point estimators of the unknown parameters as well as reliability characteristics such
as the survival and hazard rate functions. Approximate confidence intervals are con-
structed using the observed Fisher information matrix, thereby providing a practical
tool for interval estimation. In addition, for the alpha-power exponential distribution,
the maximum product of spacings method is introduced as a robust alternative to max-
imum likelihood estimation, particularly useful in cases where the likelihood function
poses computational challenges. These two classical approaches not only broaden the
estimation toolkit but also enable a comparative assessment of efficiency and robust-
ness.
In the Bayesian domain, posterior inference is developed under independent gamma
priors. Since closed-form Bayes estimators are analytically intractable, the thesis em-
ploys two approximation strategies. First, Lindley’s approximation is used to obtain ap-
proximate Bayes estimators under the squared-error loss function. Second, a simulation-
based approach is implemented through Markov chain Monte Carlo methods, specifi-
cally a hybrid Metropolis–Hastings within Gibbs sampler. The Bayesian analysis is
complemented by the construction of highest posterior density credible intervals, which
allow for direct probabilistic interpretation of parameter uncertainty. For the alpha-
power exponential distribution, the Bayesian framework is further enriched by consid-
ering both likelihood-based and spacing-based posterior structures, providing a novel
dual perspective on Bayesian inference. عادة في اختبارات الحياة ما يتم استخدام نظام العينات المراقبة، حيث يتميز هذا النظام عن نظام المعاينة الكاملة في توفير الوقت الكلي وكذلك تخفيض تكلفة الوحدات المستخدمة تحت الاختبار، تسمى البيانات التي يتم الحصول عليها في هذه التجارب بالبيانات المراقبة، تختلف أنظمة العينات المراقبة في أسلوب التنفيذ وطريقة حذف الوحدات من التجربة وأيضاً من حيث نقطة انهاء التجربة، لذلك يقوم المجرب باختيار النظام الذي يوازن ما بين الوقت الكلي للتجربة وعدد وحدات الفشل المحددة مما يحافظ على امكانية تطبيق طرق الاستدلال الإحصائي وضمان جودة النتائج وضمان اقل التكاليف في الأصل، اقترحت اختبارات الحياة بواسطة (Epstein and Sobel (1953)) ومن أكثر نظم المراقبة شيوعًا في تجارب اختبار الحياة هما نظامي المراقبة من النوع الأول (الرقابة بناءً على وقت محدد مسبقاً قدره T) والمراقبة من النوع الثاني (الرقابة بناءً على عدد حالات الفشل قدره k).
ثم أقترح (Epstein (1954)) نظام المراقبة المهجنة من النوع الأول والذي يتمثل في وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم متابعة ورصد ازمنه الفشل التي تصيب تلك الوحدات، ويتم انهاء الاختبار عند الزمنT^* حيث T^*=min، ويستهدف هذا النظام ألا يزيد وقت الاختبار عن الزمن المحدد مسبقاً T، ثم قدم (Childs et al. (2003))نظام المراقبة المهجنة من النوع الثاني للتغلب على عيب نظام المراقبة المهجنة من النوع الأول وهو احتمالية رصد عدد قليل جدا من حالات الفشل قبل الوقت T، فنظام المراقبة المهجنة من النوع الثاني يتمثل في وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة ، ثم متابعة ورصد احداث الفشل التي تصيب تلك الوحدات ثم انهاء الاختبار عند الزمنT^* حيث T^*=max، وهو يضمن عدد محدد من الفشل قدرهk.
على الرغم من أن نظام المراقبة المهجنة من النوع الأول يضمن إنهاء الاختبار في وقت محدد مسبقاً، إلا أنه قد يرصد المجرب عدد قليل جداً من حالات الفشل للوحدات قيد الاختبار،علاوة على ذلك، يضمن نظام المراقبة المهجنة من النوع الثاني عددًا محددًا من حالات الفشل عند انهاء الاختبار، ولكن قد يستغرق الأمر وقتًا طويلاً جدًا لمراقبة العدد المستهدف من وحدات الفشل وانهاء الاختبار.لذا اقترح (Chandrasekar et al. (2004)) نظامي المراقبة المهجنة المعممة من النوعين الأول والثاني بهدف التغلب على عيوب نظامي المراقبة المهجنة من النوعين الأول والثاني.
ففي نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الأول يتم وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم يحدد المجرب أعداد الفشل k,r التي يرغب في رصدهاحيث k,r∈ ، وكذا أقصى زمن يمكن للباحث تحمله ثم متابعة ورصد حالات الفشل التي تصيب تلك الوحدات، ويتم انهاء الاختبار عند الزمن min إذا تم رصد k من حالات الفشل قبل الزمن T، ما دون ذلك يتم انهاء الاختبار بعد رصد k من حالات الفشل، وعليه فأن نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الأول يعتبر بمثابة تعديل لنظام المراقبة المهجنة من النوع الأولوذلك بالسماح للتجربة بالاستمرار إلى ما بعد الوقتTإذا تم ملاحظة عدد قليل جدًا من حالات الفشل حتى ذلك الوقت.
وفي نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الثاني يتم وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم يحدد المجرب عدد حالات الفشل r التي يرغب في رصدها وكذا الحدين الأدنى والأقصى للزمن T_1,T_2الذي يمكن للمجرب تحمله أثناء الاختبار حيث T_1
ومع ذلك يعاب على نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الأول في أنه قد لا يتم رصد أي من حالات الفشل عند (أو قبل) الوقتT، من ناحية أخرى فأن عيب نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الثاني يتمثل في احتمال عدم ملاحظة أي فشل على الاطلاق أو ملاحظة عدد قليل جداً من حالات الفشل حتى الوقت المحدد مسبقاً T_2وعليه لا يمكن إجراء أي استدلالات إحصائية بكفاءة.
لذا اقترح(Balakrishnan et al. (2008)) نظام المراقبة المهجنة الموحدة للتغلب على المشاكل الواردة في النوعين الأول والثاني من أنظمة المراقبة المهجنة المعممة؛ وبناءً على هذا النظام يتم وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم يحدد المجرب حالات الفشل k,r التي يرغب في رصدهاحيث k,r∈ ، وكذا الحدين الأدنى والأقصى للزمن الذي يمكنه تحمله أثناء الاختبار T_1,T_2حيث T_1
أحد الأهداف الرئيسية لهذه الرسالة يتمثل في دراسة مشاكل التقدير بنقطة والتقدير بفتره للمعالم المجهولة وبعض خصائص الصلاحية كدالة البقاء ودالة معدل الخطر لتوزيع مقلوب الآسي المعمم وذلك بالاعتماد على نظام المراقبة المهجنة الموحدة باستخدام طريقتي الإمكان الأعظم والبيزي، أيضاً، تقديم فترات الثقة التقريبية و البيزية للمعالم المجهولة. بفرضية أن المعلومات القبلية لمعالم توزيع مقلوب الآسي المعمم متغيرات عشوائية معلومة ومستقلة وتتبع توزيع جاما، تم اشتقاق تقديرات بيز وكذا فترات الثقة البيزية باستخدام دالة الخسارة التربيعية، وحيث أن مقدرات بيز لم يتم الحصول عليها بصورة صريحة، فتم استخدام تقريب ليندلي وسلاسل ماركوف مونت كارلو بهدف حساب تقديرات بيز وإيجاد فترات الثقة البيزية للمعالم المجهولة. بتحليل مجموعة بيانات حقيقية، يمكن توضيح النتائج النظرية المتحصل عليها، وأخيراً تقديم دراسة محاكاة مونت كارلو لدراسة سلوك التقديرات المختلفة للمعالم المجهولة ودالة البقاء ودالة معدل الخطر لمقارنة أداء طرق التقدير المقترحة.
أيضاً، من ضمن الأهداف الرئيسية لهذه الرسالة، اشتقاق التقديرات البيزيةواللابيزية للمعالم المجهولة ودالة البقاء ودالة معدل الخطر لتوزيع الآسي بقوة ألفا بالاعتماد على نظام المراقبة المهجنة الموحدة؛ فمن حيث الاستدلال الكلاسيكي قد تم استخدام طريقة الإمكان الأعظم وطريقة أقصى التباعد الأعظم من أجل تقدير المعالم المجهولة ودالة البقاء ودالة معدل الخطر، أيضاً من حيث الاستدلال البيزي فقد تم تمديد دوال الطرق الكلاسيكية المقترحة من أجل اشتقاق تقديرات بيز وفترات الثقة البيزية باستخدام دالة الخسارة التربيعية وذلك تحت فرضية أن المعلومات القبلية لمعالم توزيع الآسي بقوة ألفا متغيرات عشوائية معلومة ومستقلة وتتبع توزيع جاما. وبما أن مقدرات بيز لا يمكن التعبير عنها بصورة صريحة، فتم استخدام سلاسل ماركوف مونت كارلو لحساب تقديرات بيز وإيجاد فترات الثقة البيزية للمعالم المجهولة.لمقارنة فعالية منهجيات التقدير المقترحة، تم تنفيذ عمليات محاكاة مونت كارلو، ولتوضيح أهمية وفائدة طرق التقدير المقترحة، تم تحليل مجموعتين مختلفتين من البيانات الحقيقية من المجال الهندسي.
Text in English and abstract in Arabic & English.
Mathematical Statistics
الاحصاء الرياضي
Unified Hybrid Censoring Parameter Estimation Bayesian Interval Estimation Monte Carlo Simulation خطة المراقبة المهجنة الموحدة تقدير المعالم
519.505
Parameter estimation based on unified hybrid censoring scheme / تقدير المعالم بالاعتماد على نظام المراقبة المهجنة الموحدة by Asmaa Abdel-Hakim Ibrahim Mohamed ; Supervised Prof. Dr. EL-Sayed A. El-Sherpieny. - 127 Leaves : illustrations ; 30 cm. + CD.
Thesis (Ph.D)-Cairo University, 2025.
Bibliography: pages 123-127.
This thesis addresses the problem of statistical inference for lifetime distributions
under unified hybrid censoring schemes, with a particular focus on the two-parameter
generalized inverted exponential distribution and the alpha-power exponential distribu-
tion. Unified hybrid censoring is an important framework in reliability analysis be-
cause it combines the advantages of generalized Type-I and Type-II hybrid censoring
plans, ensuring that a life test concludes within a pre-specified maximum time while
also guaranteeing the observation of at least a fixed number of failures. This balance
between time and failure constraints reflects practical considerations in reliability and
survival studies, where both economic costs and resource limitations must be managed
efficiently.
Within this censoring framework, two complementary inferential paradigms are de-
veloped. In the classical domain, maximum likelihood estimation is employed to derive
point estimators of the unknown parameters as well as reliability characteristics such
as the survival and hazard rate functions. Approximate confidence intervals are con-
structed using the observed Fisher information matrix, thereby providing a practical
tool for interval estimation. In addition, for the alpha-power exponential distribution,
the maximum product of spacings method is introduced as a robust alternative to max-
imum likelihood estimation, particularly useful in cases where the likelihood function
poses computational challenges. These two classical approaches not only broaden the
estimation toolkit but also enable a comparative assessment of efficiency and robust-
ness.
In the Bayesian domain, posterior inference is developed under independent gamma
priors. Since closed-form Bayes estimators are analytically intractable, the thesis em-
ploys two approximation strategies. First, Lindley’s approximation is used to obtain ap-
proximate Bayes estimators under the squared-error loss function. Second, a simulation-
based approach is implemented through Markov chain Monte Carlo methods, specifi-
cally a hybrid Metropolis–Hastings within Gibbs sampler. The Bayesian analysis is
complemented by the construction of highest posterior density credible intervals, which
allow for direct probabilistic interpretation of parameter uncertainty. For the alpha-
power exponential distribution, the Bayesian framework is further enriched by consid-
ering both likelihood-based and spacing-based posterior structures, providing a novel
dual perspective on Bayesian inference. عادة في اختبارات الحياة ما يتم استخدام نظام العينات المراقبة، حيث يتميز هذا النظام عن نظام المعاينة الكاملة في توفير الوقت الكلي وكذلك تخفيض تكلفة الوحدات المستخدمة تحت الاختبار، تسمى البيانات التي يتم الحصول عليها في هذه التجارب بالبيانات المراقبة، تختلف أنظمة العينات المراقبة في أسلوب التنفيذ وطريقة حذف الوحدات من التجربة وأيضاً من حيث نقطة انهاء التجربة، لذلك يقوم المجرب باختيار النظام الذي يوازن ما بين الوقت الكلي للتجربة وعدد وحدات الفشل المحددة مما يحافظ على امكانية تطبيق طرق الاستدلال الإحصائي وضمان جودة النتائج وضمان اقل التكاليف في الأصل، اقترحت اختبارات الحياة بواسطة (Epstein and Sobel (1953)) ومن أكثر نظم المراقبة شيوعًا في تجارب اختبار الحياة هما نظامي المراقبة من النوع الأول (الرقابة بناءً على وقت محدد مسبقاً قدره T) والمراقبة من النوع الثاني (الرقابة بناءً على عدد حالات الفشل قدره k).
ثم أقترح (Epstein (1954)) نظام المراقبة المهجنة من النوع الأول والذي يتمثل في وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم متابعة ورصد ازمنه الفشل التي تصيب تلك الوحدات، ويتم انهاء الاختبار عند الزمنT^* حيث T^*=min، ويستهدف هذا النظام ألا يزيد وقت الاختبار عن الزمن المحدد مسبقاً T، ثم قدم (Childs et al. (2003))نظام المراقبة المهجنة من النوع الثاني للتغلب على عيب نظام المراقبة المهجنة من النوع الأول وهو احتمالية رصد عدد قليل جدا من حالات الفشل قبل الوقت T، فنظام المراقبة المهجنة من النوع الثاني يتمثل في وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة ، ثم متابعة ورصد احداث الفشل التي تصيب تلك الوحدات ثم انهاء الاختبار عند الزمنT^* حيث T^*=max، وهو يضمن عدد محدد من الفشل قدرهk.
على الرغم من أن نظام المراقبة المهجنة من النوع الأول يضمن إنهاء الاختبار في وقت محدد مسبقاً، إلا أنه قد يرصد المجرب عدد قليل جداً من حالات الفشل للوحدات قيد الاختبار،علاوة على ذلك، يضمن نظام المراقبة المهجنة من النوع الثاني عددًا محددًا من حالات الفشل عند انهاء الاختبار، ولكن قد يستغرق الأمر وقتًا طويلاً جدًا لمراقبة العدد المستهدف من وحدات الفشل وانهاء الاختبار.لذا اقترح (Chandrasekar et al. (2004)) نظامي المراقبة المهجنة المعممة من النوعين الأول والثاني بهدف التغلب على عيوب نظامي المراقبة المهجنة من النوعين الأول والثاني.
ففي نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الأول يتم وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم يحدد المجرب أعداد الفشل k,r التي يرغب في رصدهاحيث k,r∈ ، وكذا أقصى زمن يمكن للباحث تحمله ثم متابعة ورصد حالات الفشل التي تصيب تلك الوحدات، ويتم انهاء الاختبار عند الزمن min إذا تم رصد k من حالات الفشل قبل الزمن T، ما دون ذلك يتم انهاء الاختبار بعد رصد k من حالات الفشل، وعليه فأن نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الأول يعتبر بمثابة تعديل لنظام المراقبة المهجنة من النوع الأولوذلك بالسماح للتجربة بالاستمرار إلى ما بعد الوقتTإذا تم ملاحظة عدد قليل جدًا من حالات الفشل حتى ذلك الوقت.
وفي نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الثاني يتم وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم يحدد المجرب عدد حالات الفشل r التي يرغب في رصدها وكذا الحدين الأدنى والأقصى للزمن T_1,T_2الذي يمكن للمجرب تحمله أثناء الاختبار حيث T_1
ومع ذلك يعاب على نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الأول في أنه قد لا يتم رصد أي من حالات الفشل عند (أو قبل) الوقتT، من ناحية أخرى فأن عيب نظام المراقبة المهجنة المعممة من النوع الثاني يتمثل في احتمال عدم ملاحظة أي فشل على الاطلاق أو ملاحظة عدد قليل جداً من حالات الفشل حتى الوقت المحدد مسبقاً T_2وعليه لا يمكن إجراء أي استدلالات إحصائية بكفاءة.
لذا اقترح(Balakrishnan et al. (2008)) نظام المراقبة المهجنة الموحدة للتغلب على المشاكل الواردة في النوعين الأول والثاني من أنظمة المراقبة المهجنة المعممة؛ وبناءً على هذا النظام يتم وضع n من الوحدات تحت الاختبار عند بداية التجربة، ثم يحدد المجرب حالات الفشل k,r التي يرغب في رصدهاحيث k,r∈ ، وكذا الحدين الأدنى والأقصى للزمن الذي يمكنه تحمله أثناء الاختبار T_1,T_2حيث T_1
أحد الأهداف الرئيسية لهذه الرسالة يتمثل في دراسة مشاكل التقدير بنقطة والتقدير بفتره للمعالم المجهولة وبعض خصائص الصلاحية كدالة البقاء ودالة معدل الخطر لتوزيع مقلوب الآسي المعمم وذلك بالاعتماد على نظام المراقبة المهجنة الموحدة باستخدام طريقتي الإمكان الأعظم والبيزي، أيضاً، تقديم فترات الثقة التقريبية و البيزية للمعالم المجهولة. بفرضية أن المعلومات القبلية لمعالم توزيع مقلوب الآسي المعمم متغيرات عشوائية معلومة ومستقلة وتتبع توزيع جاما، تم اشتقاق تقديرات بيز وكذا فترات الثقة البيزية باستخدام دالة الخسارة التربيعية، وحيث أن مقدرات بيز لم يتم الحصول عليها بصورة صريحة، فتم استخدام تقريب ليندلي وسلاسل ماركوف مونت كارلو بهدف حساب تقديرات بيز وإيجاد فترات الثقة البيزية للمعالم المجهولة. بتحليل مجموعة بيانات حقيقية، يمكن توضيح النتائج النظرية المتحصل عليها، وأخيراً تقديم دراسة محاكاة مونت كارلو لدراسة سلوك التقديرات المختلفة للمعالم المجهولة ودالة البقاء ودالة معدل الخطر لمقارنة أداء طرق التقدير المقترحة.
أيضاً، من ضمن الأهداف الرئيسية لهذه الرسالة، اشتقاق التقديرات البيزيةواللابيزية للمعالم المجهولة ودالة البقاء ودالة معدل الخطر لتوزيع الآسي بقوة ألفا بالاعتماد على نظام المراقبة المهجنة الموحدة؛ فمن حيث الاستدلال الكلاسيكي قد تم استخدام طريقة الإمكان الأعظم وطريقة أقصى التباعد الأعظم من أجل تقدير المعالم المجهولة ودالة البقاء ودالة معدل الخطر، أيضاً من حيث الاستدلال البيزي فقد تم تمديد دوال الطرق الكلاسيكية المقترحة من أجل اشتقاق تقديرات بيز وفترات الثقة البيزية باستخدام دالة الخسارة التربيعية وذلك تحت فرضية أن المعلومات القبلية لمعالم توزيع الآسي بقوة ألفا متغيرات عشوائية معلومة ومستقلة وتتبع توزيع جاما. وبما أن مقدرات بيز لا يمكن التعبير عنها بصورة صريحة، فتم استخدام سلاسل ماركوف مونت كارلو لحساب تقديرات بيز وإيجاد فترات الثقة البيزية للمعالم المجهولة.لمقارنة فعالية منهجيات التقدير المقترحة، تم تنفيذ عمليات محاكاة مونت كارلو، ولتوضيح أهمية وفائدة طرق التقدير المقترحة، تم تحليل مجموعتين مختلفتين من البيانات الحقيقية من المجال الهندسي.
Text in English and abstract in Arabic & English.
Mathematical Statistics
الاحصاء الرياضي
Unified Hybrid Censoring Parameter Estimation Bayesian Interval Estimation Monte Carlo Simulation خطة المراقبة المهجنة الموحدة تقدير المعالم
519.505