Thesis (M.Sc)-Cairo University, 2024.

Bibliography: pages 49-60.

Graphene sheets have unique properties of thinness and conductiv- ity, that have led to global research into its applications as a semicon- ductor. Reduced graphene oxide can be used in electronic devices, energy storage devices, (bio) sensors, biomedical applications, su- percapacitors, membranes, catalysts, and water purification. This strict two-dimensional sheet exhibits exceptionally high crystal and electronical qualities.In the present studies, we focus the attention to investigate the thermopherotic wave motion (TWM) in three-cases
(i) -The case of (1+1) dimensional graphene sheet.
The TWM is governed by by a nonlinear evolution with time de- pendent coefficients [1],

ut + uux + uxxx + (α(t) + b1 − b0)ux = 0 (i)
This equation was remarkably studied in the Literature’s by using multiple techniques. It is revisited, here, solutions of (i) are derived by the extended unified method (EUM) [2]. Indeed, Eq. (i) is real- istic for describing TWM in a thin graphene sheet. This motivated us to extend Eq. (i) to (2+1)-dimensions.
(ii)- In this work we presented a novel model equation,
(ut + (uux + uxxx + (α(t) + b1 − b0)ux)x + δ(t)uyy = 0.(ii)
Eq. (ii) is studied in chapter 3, by using by the EUM, where multiple thermopherotic waves solutions are derived, Abundant waves struc- tures are revealed and stability anmalysis of solutions is studied. This work was published in [3].
(iii)- A model Eq. for two-layer grahene sheet is proposed in this work,
ut + vux + uxxx + ux(b + α(t)) = 0, (iii)
vt + uvx + vxxx + vx(b + α(t)) = 0.
Eq. (iii) is studied in chapter 2, by using the EUM. The waves structure generated in the two layers are investigated graphically
[1]-B Li, Y Ma,Observation on Multiple Wrinkles for a Graphene Thermophoretic Motion System with a Variable Heat Transmission
,Nanoscience and Nanotechnology Letters,19 ,(2019) , 1
[2]-H. I. Abel-Gawad, N. S. Elazab and M. Osman, Exact solutions of space dependent Korteweg–de Vries equation by the extended unified method. J. Phys. Soc. Japan 82 (2013) 044004.
[3]-H.I. Abdel-Gawad a, Hussien M. Abdel-Rashied a, M. Tantawy b, Ghada H. Ibrahim, Multi-geometric structures of thermophoretic waves transmission in (2 + 1) dimensional graphene sheets. Stability analysis, Int. Commun. in Heat and Mass Transfer 126, (2021) 105406 (IF 5)

تحتوي ألواح الجرافين علي خصائص فريدة من النحافة والتوصيلية مما جعل تطبيقاتها كشبه موصل مجال لأبحاث عالمية عديدة يمكن أستخدام الجرافين ذو الأكسيد المنخفض في الاجهزة الألكترونية و أجهزة تخزين الطاقة والمستشعرات الحيوية والتطبيقات الحيوية الطبية والمكثفات الفائمة والأغشية والعوامل الحفازة تنقية المياه . تظهر خواص ألكترونية استثنائية في ألواح الجرافين ثنائي الأبعاد .سوف نوجه تركيزنا في هذه الدراسة علي أكتشاف حركة الأمواج في الجرافين الحراري وذلك من خلال ثلاث حالات :
أولا : حالة لوح الجرافين ثنائي الأبعاد.
تخضع حركة الأمواج في الجرافين الحراري إلي معادلة التطور غير الخطية ذاث المعاملات المتغيرة مع الزمن (١)

𝑢𝑡 + 𝑢 𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 + ((𝑡) + 𝑏1 − 𝑏𝑜)𝑢𝑥 = 0 (١)
تم دراسة هذه المعادلة من قبل في مقالات بأستخدام طرق متعددة وهنا نقوم بإيجاد حلول لها بإستخدام الطريمة الموحدة الموسعة (٢) . في الحقيقة المعادلة (١) تصف حركة الأمواج في لوح رقيق من الجرافين الحراري . وذلن دفعنا لتوسيعها إلي الحالة ثلاثية الأبعاد . ثانيا : في هذا العمل نقوم بدراسة المعادلة كالتالي :
(𝑢𝑡 + 𝑢 𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 + ((𝑡) + 𝑏1 − 𝑏𝑜)𝑢𝑥) + (𝑡)𝑢𝑦𝑦 = 0 (٢)

تم دراسة المعادلة (٢) في الفصل الثالث بإستخدام الطريقة الموحدة الموسعة حيث تم إيجاد حلول عديدة لحركة الأمواج ˛ تم الحصول علي أشكال عديدة للأمواج وتم دراسة تحليل الأستقرار وتم نشر هذا العمل في (٣) .
ثالثا : . في هذا العمل تم اقتراح نموذج لمعادلة لوح الجرافين ذو طبقتين مختلفتين ايضا.
𝑢𝑡 + 𝑣 𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 + ((𝑡) + 𝑏1 − 𝑏𝑜)𝑢𝑥 = 0 ,
𝑣𝑡 + 𝑢 𝑣𝑥 + 𝑣𝑥𝑥𝑥 + ((𝑡) + 𝑏1 − 𝑏𝑜)𝑣𝑥 = 0 (٣)
تم دراسة المعادلات (٣) في الفصل الثاني بإستخدام الطريمة الموحدة الموسعة .

Issues also as CD.

Text in English and abstract in Arabic & English.