Thesis (M.Sc)-Cairo University, 2025.

Bibliography: pages 111-117.

In this study, we propose a bivariate extension of the generalized Burr distribution, which is widely used to analyze life testing data, where the generalized Burr distribution is a flexible distribution that is used to describe many types of data. This distribution has a flexible hazard function, which can take a decreasing, approximately constant, or unimodal shape over time. This makes the generalized Burr distribution one of the most applicable in many fields. We introduce four bivariate versions for the generalized Burr distribution using various copula functions to model dependence structures between random variables. Copulas such as Farlie-Gumbel-Morgenstern, Ali-Mikhail-Haq, Clayton, and Frank are used to construct the bivariate generalized Burr distribution, with a focus on studying dependence measures such as Kendall's Tau and Spearman's Rho, and analyzing how these measures perform under different copula families. Some mathematical properties of the bivariate generalized Burr distribution are obtained, such as joint hazard function, joint reversed hazard function, joint product moment, joint moment generating function, dependence measure, and conditional distribution. Also, we estimate the models' parameters using maximum likelihood estimation and calculate the asymptotic confidence intervals. Additionally, we investigate dependent competing risks models using the Marshall–Olkin bivariate generalized Burr distribution. The bivariate generalized Burr distribution provides a flexible framework for capturing the dependence between failure times, making it suitable for various applications in reliability analysis. This approach is particularly suited for applications where multiple failure causes are present, and independence cannot be assumed. A Monte Carlo simulation study was performed to evaluate the models' performance. Finally, the proposed models are illustrated through the analysis of four real datasets and dependent competing risks data, and the results highlight the efficiency of the bivariate generalized Burr distribution as a flexible model capable of describing various types of data, paving the way for future research and a wide range of practical applications.

تم تطوير التوزيعات الثنائية لتلبية الحاجة المتزايدة إلى نماذج إحصائية مرنة يمكنها تمثيل العلاقات المعقدة بين المتغيرات، خاصة في ظل تعقيد البيانات الحديثة. وقد أصبح تحليل البيانات الثنائية ذا أهمية متزايدة في العديد من المجالات التطبيقية مثل الاقتصاد، والهندسة، وعلوم الحياة، حيث يتطلب فهم الظواهر العشوائية استخدام توزيعات متعددة المتغيرات لدراسة التفاعلات المعقدة بين المتغيرات. يُعد توزيع generalized Burr (GB) أحد التوزيعات المستمرة المرنة التي تُستخدم لنمذجة أنواع متعددة من البيانات، Dubey (1968) بإفتراض أن المتغير العشوائي الشرطي X يتبع Weibull distribution، في حين أن معلمة المقياس الخاصة به تتبع Gamma distribution. يُعتبر هذا التوزيع تعميمًا لتوزيع Burr الأصلي الذي قدمه Burr (1942). وقد حظي توزيع GB باهتمام واسع من الباحثين نظرًا لتعدد تطبيقاته، بما في ذلك تحليل البقاء، والدراسات الطبية والاجتماعية، والعلوم الاكتوارية، ونمذجة أزمنة فشل الأنظمة والمكوّنات. يشترك توزيع GB مع توزيع Weibull في المرونة العالية لدالة الخطر الخاصة به، حيث يمكن أن تكون متناقصة عندما تكون α<1، أو ثابتة تقريبًا عندماα=1، أو على شكل unimodal عندما α>1، مما يجعله مناسبًا لنمذجة العديد من الظواهر الواقعية. ومن الجدير بالذكر أن توزيع Lomax ، الذي اقترحه Lomax (1954) لنمذجة فشل الأعمال، يُعد حالة خاصة من توزيع GB عندما α=1. كذلك، يمكن من خلال تحويلات مناسبة تبسيط دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع GB إلى بعض الحالات الخاصة مما يؤكد مرونته وعموميته في النمذجة الإحصائية. ومع أن التوزيعات الهامشية مثل GB تُعنى بوصف سلوك كل متغير على حدة، فإنها لا تلتقط العلاقة أو الإرتباط بين المتغيرات. وفهم هذه العلاقات أمر بالغ الأهمية في العديد من التطبيقات الواقعية، لا سيما تلك المتعلقة بتحليل المخاطر، ودراسات البقاء، والموثوقية وهنا يأتي دور .copula functionsقدّم Sklar (1959) مبدأً أساسيًا يوضح كيف ترتبط دوال التوزيع المشتركة بتوزيعاتها الهامشية من خلال دوال الربط. تُستخدم دوال الربط (copulas) لربط التوزيعات متعددة المتغيرات بتوزيعاتها الأحادية، مما يمكّن من فهم العلاقات والاعتمادية بين المتغيرات العشوائية بدقة أعلى، خاصة في الحالات التي تكون فيها العلاقة غير خطية أو معقدة. وتوجد عدة أنواع من دوال الربط في الأدبيات، كل منها يلائم نمطًا معينًا من الاعتمادية. على سبيل المثال، تُعتبر Gaussian copula مرنة ويمكنها تمثيل الاعتمادية الإيجابية والسلبية بشكل متساوي. أما Clayton copula فهي لا تمثل الاعتمادية السالبة وتتميز بقوة في الذيل الأيسر. وبالمثل، تسمح Frank copula بتمثيل الاعتمادية الموجبة والسالبة، في حين أنcopula FGM و AMH copula تُستخدم غالبًا في حالات الإعتمادية الضعيفة حيث تكون الارتباطات بين المتغيرات محدودة.
توفر دوال الربط إطارًا مرنًا يسمح بفصل هيكل الاعتمادية عن التوزيعات الهامشية، وهو ما يدفع إلى الحاجة لبناء نماذج ثنائية جديدة قائمة على توزيع Burr المعمم باستخدام دوال ربط مختلفة. ومن خلال استخدام عدة دوال ربط تهدف إلى تحليل تأثير الإرتباط على السلوك المشترك للأنظمة الثنائية. ويوفر هذا التوجّه نماذج أكثر مرونة وقابلية للتطبيق في مجالات متنوعة، مثل الإحصاء الطبي، والنمذجة المالية، وتحليل المخاطر المتنافسة. تهدف هذه الرسالة إلى تقديم أربع صيغ ثنائية لتوزيع Burr المعمم باستخدام دوال ربط متنوعة لنمذجة الإعتمادية بين المتغيرات العشوائية. وتشمل دوال الربط المستخدم FGM Copula و Copula AMH و Clayton Copula وFrank Copula ، مع التركيز على دراسة مقاييس الارتباط مثل Kendall’s Tau وSpearman’s Rho، وتحليل سلوك هذه المقاييس ضمن عائلات دوال الربط المختلفة. كما تتناول الدراسة الخصائص النظرية للنماذج المقترحة، بما في ذلك دوال البقاء ومقاييس الاعتمادية، إلى جانب مقارنة أداء النماذج من حيث جودة المطابقة للبيانات، باستخدام دراسات محاكاة وتطبيقات على بيانات حقيقية. تشمل الدراسة أيضًا نماذج المخاطر المتنافسة بالاعتماد على توزيع Marshall-Olkin bivariate generalized Burr (MOBGB) الذي يوفّر إطارًا مرنًا لتمثيل الإرتباط بين أزمنة الفشل، مما يجعله أداة فعالة لتطبيقات متنوعة في مجال تحليل الإعتمادية.

Issues also as CD.

Text in English and abstract in Arabic & English.