Numerical studies of constrained optimal control problems for systems of differential equations
دراسات عددية لمسائل التحكم الأمثل المقيدة بأنظمة من المعادلات التفاضلية
by Tamer Mostafa Abd-Elfatah Mohamed ; Supervisors Prof. Dr. Laila F. Abd Elal, Prof. Dr. Nasser H. Sweilam, Prof. Dr. Abdelhameed M. Nagy.
- 110 pages : illustrations ; 25 cm. + CD.
Thesis (Ph.D)-Cairo University, 2025.
Bibliography: pages 97-110.
This thesis contributes to the study of numerical schemes for a variety of frac- tional optimal control problems. In the first part, the optimal control problems are formulated using the Caputo-Katugampola definition. We investigate two classes of optimal control problems: one in which the dynamical system is con- strained by fractional differential equations, and another governed by fractional integro-differential equations. The numerical approaches are based on spectral collocation method combined with numerical integration techniques. We apply the Rayleigh-Ritz method to reduce the problem to a finite-dimensional opti- mizationproblem. TheresultingnonlinearsystemissolvedusingNewton’siter- ative procedure. In addition, numerical formulas for the Caputo-Katugampola fractional derivative are established, along with corresponding error bounds. The second part investigates fractional optimal control problems involving a hybrid variable-order fractional operator, applied to describe the dynamics of COVID-19 transmission. Fundamental analytical properties of the model such as boundedness, positivity, local and global stability are demonstrated. Two control measures are incorporated to limit the spread of infection to suscepti- ble individuals. To approximate the hybrid variable-order fractional operator, the Grünwald-Letnikov is adopted, while the optimality system is studied nu- merically using the finite difference method and the generalized fourth-order Runge-Kutta method. Numerical case studies and comparative experiments with real data are provided, in order to verify the efficiency and simplicity of implementation for the proposed numerical procedures. تُقدِّم هذه الرسالة إسهاماً علمياً لدراسة الحلول العددية لمجموعة متنوعة من مسائل التحكم الأمثل ذات الرتب الكسرية. في الجزء الأول، يتم صياغة مسائل التحكم الأمثل ذات الرتب الكسرية باستخدام تعريف كابوتو – كاتوجامبولا. نقوم بدراسة نوعين من مسائل التحكم الأمثل: الأول يكون فيه النظام الديناميكي مقيدًا بمعادلات تفاضلية ذات رتب كسرية، والثاني تحكمه معادلات تكاملية-تفاضلية ذات رتب كسرية. تعتمد المناهج العددية على طريقة التجميع الطيفي مقترنة بتقنيات التكامل العددي. يتم تطبيق طريقة رايلي-ريتز لتحويل المسألة إلى مسألة أمثلية ذات بُعد محدود، ثم يُحل النظام غير الخطي الناتج باستخدام إجراء نيوتن التكراري. بالإضافة إلى ذلك، يتم استحداث صيغ عددية لمشتقة كابوتو-كاتوغامبولا الكسرية، مع تقديم حدود الخطأ المقابلة. أما الجزء الثاني من الرسالة، فقد خُصص لدراسة مسائل التحكم الأمثل ذات الرتب الكسرية التي تتضمن مؤثراً كسرياً هجيناً متغير الرتبة، والمستخدم في وصف ديناميكيات انتشار فيروس كوفيد-19. وقد جرى إثبات مجموعة من الخصائص التحليلية الجوهرية للنموذج. كما تم إدماج استراتيجيتين للتحكم بغرض الحد من انتقال العدوى إلى الأفراد القابلين للإصابة. ولغرض تقريب المؤثر الهجين متغير الرتبة، تم تبنّي أسلوب جرونوالد–ليتنيكوف، في حين جرى حل نظام االامثلية عبر المزج بين طريقة الفروق المحدودة وصيغة رونج–كوتا من الرتبة الرابعة المعممة. تُعرض أيضًا دراسات حالة عددية وتجارب مقارنة للتحقق من كفاءة وفاعلية وسهولة تطبيق الإجراءات العددية المقترحة.