Thesis (Ph.D)-Cairo University, 2025.

Bibliography: pages 95-103.

This thesis focuses on developing numerical methods to solve a specifc type of anomalous sub diffusion equation. The fractional Cable equation (FCE) for spiny neural dendrites and the fractional reaction-sub diffusion equation (FRSE) are two important anomalous sub diffusion equations that are solved numerically in this thesis. These techniques closely resemble the non-standard weighted average finite difference method (NSWAFDM), a simple yet effective proposed approach. We examine a straightforward numerical method for solving the variable-order, two-dimensional Cable equation. We examine the stability of the suggested strategy using the John von Neumann analysis technique. We derive a stability criterion that applies to various discretization schemes for the variable-order derivative and any weight factor. Numerical examples demonstrate the efficacy and accuracy of the proposed technique. The proposed technique is a straightforward extension of the weighted average finite difference technique. In addition, we apply the non-standard implicit compact finite difference method (NSICFDM) to solve the distributed order two-dimensional fractional Cable equation and the distributed order two-dimensional fractional Reaction sub-diffusion equation. The stability of the suggested method is analysed using the John von Neumann stability analysis technique. A precise stability criterion is presented that applies to various discretization schemes of the fractional derivative and any weighting factor. The efficacy and accuracy of the provided method are demonstrated through the use of two numerical examples for each.

هذه الرسالة تتناول تطوير للدراسات العددية لمجموعة من المعادلات جزئية الانتشار غير المعتادة من الرتب المتغيرة( الرتبة عبارة عن دالة وليست عدد ثابت ) وأيضا التوزيعات المرتبة. تم تقديم طريقة عددية لإيجاد الحل عدديا لاثنين من أهم المعادلات جزئية الانتشار غير المعتادة وهما معادلة الكبل من الرتبة الكسرية في بعدين وكذلك معادلة رد الفعل جزئية الانتشار من الرتبة الكسرية في بعدين أيضا.ً الطريقة المقدمة هي امتداد لطريقة المتوسطات المرجحة بطريقة الفروق المنتهية وتظهر المعادلات جزئية الانتشار غير المعتادة بقوة في التفاعلات الكيميائية وكذلك في التشعبات العصبية الشوكية. تمت دراسة استقرار الطريقة المقترحة بطريقة مماثلة لطريقة استقرار جون فون نيومان وتم وبرهنة بعض النظريات في هذه الدراسة لاستنتاج شرط دقيق وفعال لحدوث الاستقرار معتمداً علي بعض القيم مثل قيم رتبة التفاضل الكسري وبعض البارامترات الأخري. تم تطبيق الطريقة المقدمة علي مثالين عدديين لقياس دقتها وللتأكد من كونها طريقة فعالة. وأيضا قمنا بحل معادلة الكابل و معادلة رد الفعل جزئية الانتشار في بعدين ولكن ذات توزيعات مرتبة بطريقة الفروق المنتهية مترابطة محكمة التوزيع وأيضا تمت دراسة الاستقرار وبرهنة نظرية لاستنتاج شرط حدوث الاستقرار معتمداً علي بعض البارمترات التي تضمن تحققه ودقته. تم تطبيق الطريقة المقدمة علي مثالين عدديين لقياس دقتها وللتأكد من كونها طريقة فعالة. واختتمت الرسالة بمقدمة بسيطة عن العمل المستقبلي بطريقة الحجوم المنتهية.

Issues also as CD.

Text in English and abstract in Arabic & English.